Su padre fue Eulogio Dávalos Román, pianista, compositor y director de orquesta, quien le dio la formación musical temprana en las disciplinas de piano, solfeo y canto. Su madre es Elia Llanos Romero, quien a los 7 años lo inició en el mundo de la guitarra, instrumento por el cual se decantaría.
Estudió en el Conservatorio Nacional de Música (actualmente ocupada por el Departamento de Música y Sonología de la Facultad de Artes) de la Universidad de Chile con Liliana Pérez Corey. Posteriormente tuvo como maestro al guitarrista José Pavez Rojas, discípulo de Miquel Llobet.
En el 1954 realizó una gira por todo Chile. La crítica musical chilena lo describió como “la revelación musical de Chile”.
Terminó sus estudios musicales en la Asociación de Música de Cámara de Buenos Aires. Poco tiempo después, en 1957, de vuelta a Santiago, audicionó para Andrés Segovia, el cual lo impulsó a viajar a España. En Argentina, el pianista Claudio Arrau también le aconsejó realizar su carrera en Europa.
Junto a la pianista Gloria Dávalos, su hermana, ofreció innumerables conciertos. Los estrenos de conciertos para guitarra y orquesta se sucedieron en Chile, Bolivia y Argentina.
En 1963, RCA Víctor lo contrató como artista exclusivo y sus discos se reeditaron en Chile, Francia y EE. UU.
Su incesante búsqueda e investigación, hizo que en 1966 formara dúo con Miguel Ángel Cherubito (maestro y compositor argentino). El dúo Dávalos & Cherubito ofreció más de 800 conciertos en África, Europa, América del Norte y Sudamérica. Varios discos y registros para TV y Radio, junto a clases magistrales marcaron los veinte años de la extensa carrera del Dúo.
En 1969, fue el primer guitarrista latinoamericano que grabó el Concierto de Aranjuez, de Joaquín Rodrigo, junto al director estadounidense, Gerald Brown (Director de la Orquesta Sinfónica de Illinois).
Narciso Yepes presentó al dúo Dávalos & Cherubito en París (1975) en el Museo del Louvre (Salón Napoleón III). El 14 de octubre de 1975, actuaron en el Carnegie Hall, de Nueva York, con notable crítica de Allan Hughes del The New York Times. Eulogio Dávalos fue el primer y único guitarrista chileno que actuó en el mítico coliseo, hasta que en marzo de 2010 lo hiciera su compatriota Carlos Pérez.
En el año 1990, el ex-presidente chileno Patricio Aylwin lo designó Embajador Cultural Itinerante de Chile, cargo ad honorem.
Es creador del Concurso Internacional de Guitarra "Ciutat de Barcelona", homenaje a M. L. Anido, Festival Guitarras de América de Barcelona y Director Artístico y Fundador del Festival Internacional de Guitarra de Chile.
Sus obras para guitarra están grabadas y han sido interpretadas por notables guitarristas, se destacan los homenajes a Pablo Neruda, Violeta Parra, Víctor Jara y Rafael Alberti.
Hoy me suena Gracias a la vida.
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